ПЕРЕДМОВА
ГЛАВА 1. ЛОГІКА І ПРИЙНЯТТЯ РІШЕННЯ
§ 1. Технічні системи та їхня роль у підвищенні ефективності рішень, що приймаються
§ 2. Алгебра контактних схем
§ 3. Теорія множин
ГЛАВА 2. ВІД ЛОГІКИ ДО МЕТАЛОГІКИ
§ 4. Аксіоматика в логіці й математиці
§ 5. Проблеми теорії множин
§ 6. Логічні дослідження Д. Гільберта
§ 7. Поглиблене розуміння аксіоматичного методу
ГЛАВА 3. ЛОГІКА ВИСЛОВЛЕНЬ, АБО ПРОПОЗИЦІЙНА ЛОГІКА
§ 8. Формалізовані мови науки й формальна логіка.
§ 9. Змінні й постійні в мові науки
§ 10. Закони логіки, таблиці істинності та логічні сполучники
§ 11. Трактування релейно-контактних схем у термінах логіки висловлень
§ 12. Індуктивні й дедуктивні умовиводи
ГЛАВА 4. ЛОГІКА ПРЕДИКАТІВ, АБО ПРОПОЗИЦІЙНИХ ФУНКЦІЙ
§ 13. Відмітні риси логіки предикатів
§ 14. Дескрипція
§ 15. Суть проблеми існування в логіці
§ 16. Квантор існування
§ 17. Значення виразу «бути поняттям»
§ 18. Квантори й змінні: істотні уточнення
§ 19. Закони логіки висловлень і логіки предикатів
ГЛАВА 5. НОВІ ЛОГІЧНІ ІДЕЇ І СИСТЕМИ
§ 20. Розвиток ідей математичного конструктивізму
§ 21. Конструктивна логіка
§ 22. Ця дивна нечітка логіка
§ 23. Проблеми модальної логіки
§ 24. З історії терміна «семантика»
§ 25. Логічна семантика: проблеми й поняття
ГЛАВА 6. ЛОГІКА І КІБЕРНЕТИКА
§ 26. Кібернетика, логіка й теорія кінцевих автоматів
§ 27. «Машина Тьюрінга». Вплив математичної теорії зв'язку на логіко-семантичні дослідження
§ 28. «Штучний інтелект» з погляду логіків

ПЕРЕДМОВА

в навчальному посібнику викладено основні поняття й методи сучасної логіки, яку часто називають математичною логікою. Проте орієнтація на математику та її технічні застосування аж ніяк не вичерпує всієї сфери логічного пошуку. Логічний інструментарій ефективно використовується в гуманітарних науках — від лінгвістики до юриспруденції й етики. Оволодіти цим інструментарієм не так уже й просто: потрібна напружена й систематична робота, а в результаті матимемо висококваліфікованого спеціаліста, професіонала, який з успіхом працюватиме в будь-якій сучасній галузі, наприклад у галузі програмного забезпечення комп'ютерів. Немає потреби надто довго говорити про користь вивчення логіки, вона незаперечна.

Сучасні видання, присвячені логіці, поділяються на два потоки — популярні книги й навчальна та наукова література. Так склалося, що логіка в популярному її викладі лише вабить у напіввідчинені двері та інтригує, не озброюючи при цьому необхідним мінімумом знань для того, щоб упевнено ввійти до Храму Науки. Навчальна ж література здебільшого суха й технічна. Студент мусить іноді просто заучувати пропонований матеріал, що, звичайно, не викликає симпатії до науки, котра опановується. За такої ситуації зроблено спробу створити посібник, у якому методиці викладу навчального матеріалу надано популярної форми.

У посібнику подано основні розділи логіки й напрями логічних досліджень. Перші дві глави мають допомогти студентові самостійно розібратися в тому, чим займаються сучасні логіки та яке практичне значення мають їхні теоретичні дослідження. Третя й четверта глави знайомлять з основами логіки, знання яких є обов'язковою умовою для подальшого просування лабіринтами цієї складної науки. П'ята глава демонструє в загальних рисах найцікавіші й найпрогресивніші шляхи розвитку сучасної логічної думки, /нарешті, завершальна, шоста, глава виводить студента, який вже ознайомився з логічною азбукою, на актуальну проблематику, що хвилює як практиків, так і теоретиків. Мається на увазі предметна ділянка кібернетики й таке важливе питання, як вивчення проблем «штучного інтелекту» (переклад з однієї природної мови на іншу, створення технічних експертних систем тощо).

ГЛАВА 1. ЛОГІКА І ПРИЙНЯТТЯ РІШЕННЯ

§ 1. Технічні системи та їхня роль у підвищенні ефективності рішень, що приймаються

Мета створення будь-якої системи управління полягає в тому, щоб підвищити ефективність рішень, що приймаються. Рішення — це завжди вибір, вибір оптимального шляху до поставленої мети.
Від людини, яка приймає відповідальне рішення, чекають вибору в тому випадку, коли рішення не можна вважати до кінця однозначним, особливо якщо воно містить несумірні величини, важко узгоджувані фактори. Подібні управлінські задачі не під силу й сучасним електронно-обчислювальним машинам.
Якщо рішення можна звести до однозначного вибору, то зникає потреба в особі, яка приймає рішення. Така задача розв'язується суто технічними засобами, наприклад за допомогою комп'ютера, а моделюватися вона може на зразок конструйованих простих і складних релейних пристроїв.
У науковому розумінні реле — це пристрій для механічного, електричного управління й контролю за відповідними технічними системами. Найпоширенішим типом є електромагнітне реле, в якому електричні контакти замикаються або розмикаються під час зміни стану релейного елемента.
Історія електромагнітних реле пов'язана з будівництвом великих залізниць, надійність роботи яких багато в чому залежить від швидкості передавання повідомлень на далекі відстані. Ось тоді й було виявлено, що, замикаючи та розмикаючи електричне коло, можна збуджувати магнітні сили притягання. Встановлення цього факту навело вчених на думку про можливість використання електромагнетизму для швидкого передавання повідомлень на великі відстані.
У першій половині XIX ст. американський художник і винахідник С. Ф. Б. Морзе (1791— 1872) продемонстрував приймач, названий клопфером, і систему сигналізації, що дістала назву азбуки Морзе. Основним призначенням кодів, відомих віддавна, було засекречування певних повідомлень. На відміну від них мета кодів типу азбуки Морзе полягає у швидкому і надійному передаванні повідомлень. Реалізація поставленої мети здійснюється спеціальним кодуючим пристроєм, який ставить у відповідність символам тексту, що передається, певну комбінацію сигналів (код). Кодування — це операція переведення повідомлень у послідовність сигналів. Зворотна операція називається декодуванням.
Коди, що використовують два різні елементарні сигнали (наприклад: електричний імпульс і пауза), називаються двійковими. Як правило, ці сигнали позначають математичними символами «0» і «1». Вказаних символів цілком достатньо для кодування будь-якої кількості повідомлень.
Зауважимо, що між двійковими кодами й релейними пристроями, які працюють за принципом «замкнено— розімкнено», є очевидна схожість.
У 30-ті роки XX ст. реле й інші складові частини телефонної техніки було використано під час створення складного обчислювального пристрою, який міг би виконувати операції додавання, віднімання, множення, ділення комплексних чисел. Щодо швидкодії релейні пристрої електронно-обчислювальних машин є найдосконалішими.
Сучасні релейні пристрої містять велику кількість елементів. Для їх вивчення застосовують логіко-математичні методи. Важливий внесок у цю галузь науки одним із перших зробив американський учений Клод Шеннон (1916—2001). Він побудував логіко-математичне числення, яке ґрунтується на основних ідеях теорії релейних кіл, а також показав, що це числення випливає з деяких елементарних логічних положень.
Працями Шеннона та інших учених було закладено фундамент логічного синтезу релейних пристроїв. А до того часу цікаві релейні пристрої проектувалися й будувалися не на основі добре розробленої теорії, а завдяки творчій кмітливості талановитих інженерів і вчених.
Отже, проблема релейних пристроїв не є суто технічною, а пристрої ці являють собою окремий випадок системи управління. Таким чином теорія логічного синтезу релейних пристроїв робить власний внесок у розвиток теорії управління, зокрема у вивчення проблем організації й управління, що в сучасному менеджменті дістало назву «дослідження операцій». Цей напрям сформувався під впливом кібернетики, практики використання її досягнень в управлінській діяльності, коли важливе місце відводиться побудові математичних моделей управління. Тому названий тип досліджень деякі вчені вважають окремим розділом прикладної математики.
§ 2. Алгебра контактних схем
Релейний пристрій можна розглядати як перетворювач інформації, що функціонує відповідно до певної системи формальних правил, закладених у нього проектувальником. До речі, система формальних правил є відмітною рисою формальної логіки.
Правильно спроектований релейний пристрій реалізує логічні співвідношення між визначеними проектувальником входами й виходами.
У постулатах і теоремах так званої алгебраїчної логіки релейних кіл для цифр і змінних виконуються правила, які у більшості випадків збігаються з правилами звичайної алгебри й арифметики. Однак є ряд виразів, для яких не виконуються прості правила.
Змінні в алгебрі релейних кіл не мають числового значення. Інженера цікавить лише одне — замкнене чи розімкнене електричне коло. Як саме воно може бути замкнене або розімкнене, його не цікавить. Ось чому алгебра релейних кіл є не алгеброю чисел, а алгеброю станів. Цифри «0» і «І», що використовуються в такому випадку, не виражають кількісні співвідношення. Цифру «0», як і цифру «1», можна використовувати для позначення і розімкненого стану кола, і замкненого. Отже, не випадково вчені дійшли висновку, що у розв'язанні інженерних задач з електрики можна використовувати апарат сучасної математичної логіки. Час показав, що без знань логіки сучасний науково-технічний прогрес взагалі неможливо уявити.
У логіці, яка має безпосереднє відношення до аналізу електричних схем, контакти відіграють роль змінних. Позначимо їх малими літерами латинського алфавіту (а, Ь, с, ...). Кожна зі змінних може набувати одного й тільки одного значення з двох можливих, а саме: контакт ро-зімкнений і за визначенням дорівнює нулю (рис. 1), контакт замкнени